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ジュニア算数オリンピック:場合の数

東京大学の安田講堂

ジュニア算数オリンピック:場合の数

対象学年:小4~中3

算数オリンピックといえば入試レベルを超える難問が出題されるもの。

今回紹介する問題もそんな難しい問題の1つ。

しかし実は条件の整理が複雑なだけで、じゃんけんのルールさえわかっていれば解けてしまいます

そのため、小4から解くこともできるでしょう。

最も条件整理の複雑さから言えば、中学生でも難しく感じる子もいるはず。

よって中学生でも条件整理の力を伸ばすためにも実施する価値はあるでしょう。

問題 算数:場合の数

3台のじゃんけんロボットA,B,Cがあります。このロボットたちはそれぞれ特徴があり、それぞれ決められた作戦でじゃんけんをして、グーかチョキかパーの「手」を出します。

<ロボットA>
特徴:グーが出せません。(つまり、チョキとパーしか出せません。)
作戦:勝った時に次も同じ「手」を出します。あいこだったときと負けたときは、次に必ずちがう「手」を出します。

<ロボットB>
特徴:パーが出ません。
作戦:他のロボットが出した「手」を見て、他のロボットたちは次も同じ「手」を出してくる、と考えます。そこで、自分が何を出せば勝てるか、を考えて必ずその「手」を出します。もし、勝てる「手」がないときは、負けない「手」を考えて必ずその「手」を出します。

<ロボットC>
特徴:チョキが出せません。また、ロボットAがグーを出せないこととロボットBがパーを出せないことを知っています。
作戦:他のロボットが出した「手」を見て、他のロボットたちは続けて同じ「手」を出さない、と考えます。そこで、自分が何を出せば勝てるか、を考えて必ずその「手」を出します。もし、勝てる「手」がないときは、負けない「手」を考えて必ずその「手」を出します。

3台のロボットが同時に10回のじゃんけんをしたところ、ロボットA、ロボットB、ロボットCが以下のようにコメントを残しました。

ロボットA 「カッタトキモマケタトキモアッタヨ」
ロボットB 「イッカイモカテナカッタヨ」
ロボットC 「カッタトキモマケタトキモアッタヨ」

さて、ロボットA、ロボットB、ロボットCが最初に出した「手」は何か答えなさい。ただし、あいこもじゃんけんの回数に含みます。

ジュニア算数オリンピック 2020年 大問7
  • ロボットA:パー
  • ロボットB:グー
  • ロボットC:グー

ポイント

ルールを整理する

こういう問題が解けない子は、そもそもルールを理解せずに諦めてしまう場合が多いものです。

この問題、問題文は長いものの、書いてあるルールは大したことありません。

要するに、それぞれ2種類しか出せない。

これを書きだすところが第一段階になります。

つまり、

  • ロボットA : チョキ・パー
  • ロボットB : グー・チョキ
  • ロボットC : グー・パー

これしか出すことができない。

ここまで整理できるかどうかが第一段階になります。

もし整理できないのであれば、一文ずつ読んで、整理させていく練習が必要になります。

全パターン書き出す

一見複雑な条件に見えますが、要するにロボットは2種類しか出すことができないのです。

ということは、2×2×2=8通りしか出し方が存在しないということになります。

もし3種類出すことができるなら、3×3×3=27通りも存在しますが、8通りなら全て書き出しても大した量ではありません。

また、次に出す手も前回出した手から自動的に決まります。

だから8通り全ての組み合わせを書き出し、それぞれの場合の2回目のじゃんけんの手を書き出す。

合計16通りのみ書き出せば、あとはひたすら同じものが繰り返されるだけになります。

問題を見た時にここまで気付ければ大したものですが、気付けなかったとしても、書き出さずに諦めてしまうようではこういった類の問題は解けるようになりません

ジュニア算数オリンピック_2020-01-01
ロボットが出せる「手」の全パターンと次の「手」

条件に合うものを選定する

最後に重要になるのが、ロボットのコメント。

Bに着目すれば、Bは一回も勝っていないので、Bが勝ってしまうパターンを消してしまえばいいことに気付きます。

すると5パターンしか残らないんですね。

そしてこの中でロボットAとCのコメントを満たすものを探す。

つまり、ロボットAもCも勝ちと負けがあるもの。

実際書き出せばすぐわかりますが、勝ちはあっても、負けがないものが出てきてしまうのです。

それを除外。

すると1パターンしか残らない。

これが答えになります。

ここまでの選定が難しいでしょう。

条件を正確に読み取るだけではなく、該当するものをしっかりと見つけなければならないので、これが子どもには結構難しい。

上手くヒントを出しながら気づかせてあげて下さい。

難関校対策として重要な力を育てるには

いわゆる難関校にはこういった条件整理をする力が重要になってきます。

ところがこの力は問題をひたすら解くだけでは身に着きません。

とくにパターン問題に慣れている子にとっては、パターン外の問題は日頃から捨ててしまう傾向にあるため、一向にこの壁を乗り越えられないのです。

これが算数の限界を作ってしまう要因なんですね。

それを打破するのであれば、やはりじっくりと考えて、あらゆる可能性を書き出し、整理、選定する作業を訓練していかなければなりません。

これがとても根気のいる作業であり、子供が勉強をイヤになる要因でもあります。

しかし逆に言えば、たった一問でもしっかりと向き合うことで、解ける問題が増えるので、結果的には楽になっていきます。

子供がじっくり考えられるようにうまく誘導してあげて下さい。

もしうまくいかないようなら、ファイへお任せ下さい。

ファイでは子ども達がじっくりと問題に向き合うことで思考力を育てる勉強をサポートしています。

パターン問題をひたすら繰り返しても伸びない場合は、やり方を変えてみませんか(^^)/

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1981年生、千葉県出身の学習法診断士。独自の教育論、常識外れの教育手法を用いて、大手進学塾で実績、成績上昇率共にトップを取り続け、個別指導塾、家庭教師でもミラクルと言われる多数の逆転合格を打ち出す。2013年に進学塾PHIを作り、2015年に株式会社学習法指導塾PHIを設立。子供たちを対象とした勉強のやり方の指導を初め、親へも教育に関する子育て指導を実施。教育活動の一環として、高校や大学での指導、セミナー活動、塾や学校の先生など教育者に対するコンサルティング、動物介在教育など、多岐にわたって教育業に携わる。

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