日本初!勝手に勉強する子ができる塾

なぜ母線×半径×3.14なのか。公式を知っていても円錐を作れない

表参道,クリスマスイルミネーション,錐体のオブジェ

覚える公式の危うさ

大手の塾では「覚えろ」と言われるこの公式。

円錐の側面積の求め方ですね。

円錐の側面積の求め方

母線×底面の半径×3.14

確かにこの公式を覚えておけば側面積を即答できるため、圧倒的に有利なのですが、それは覚えていられる間の話。

もし忘れたり混乱したりすると、求められなくなってしまうのです。

そこで押さえておきたいのが、展開図のおうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さが等しいということ。

「そんなの知ってるよ」

そういう子どもも多いのですが、知っているだけで理解できていない子が多いのです。

今回は円錐の展開図を初めて扱った塾生の指導の様子をちょっと紹介。

とりあえず作ってみる

受験となるとついつい効率を求めがちですが、円錐は一度ぐらい作ってみた方がいいでしょう。

今回教えた子は円錐自体が初めてなので、教えながら一緒にやりましたが、既に習って知っている子でも、同じ長さとわかっていても作れない子が多いのです。

なぜなら、どうやったら同じ長さにできるのかわからないから。

机上でしか学んできていない子は、ビックリするぐらい作れません

子どもと一緒に試してみて下さい。

あなたならどうやって同じ長さにしますか?

ノート準備中

上の写真は失敗作の展開図。

これをくっつけても円錐になりません。

この失敗をすることで、おうぎ形の中心角と底面の円周とに関係があることに気付きます

さてここからが問題。

どうやって同じ長さにするか。

どうやって同じ長さにする?

同じ長さにすることがわかったら、どうやったら同じ長さになるかを考えることになります。

いくつは方法はありますね。

  • 中心角の角度を測っておうぎ形を作る。
  • 母線と半径の比を作りやすいおうぎ形の比に合わせる。
  • おうぎ形を作ってからその大きさに底面を作る。

どれも正解です。

どう作ってもいいのですが、母線と半径の比について気付かせるのならば、おうぎ形を底面に合わせたいところ。

ということで、まずは底面の円をつくります。

次に側面にあたるおうぎ形を作るのですが、ここではおうぎ形にせずに底面の円より大きな円を作ります。

そして円の半径を一本切って、切れ込みが入った状態にします。

後はその切れ込み部分をずらして重ねていくと,側面部分ができます。

重ねる部分を増やすと底面が小さく、重ねる部分を減らすと底面が大きくなります

これで底面に合わせてあげれば、円周が合う円錐をつくることができます。

こうすることで、おうぎ形の角度と底面の半径との間に関係があることが、感覚的に実感できます

なぜ母線×半径×3.14?

側面積の切れ込みを入れただけの最初の状態を考えると、中心角360°のおうぎ形と考えることができます。

これを側面とする円錐を強引に考えると、高さは0で、底面の円は同じ大きさの円錐になると考えられます。

このおうぎ形を重ねていって、360°重ねると底面は0になります。

もちろん理論上の話であり、実際には不可能ですが、規則性からイメージはできるはずです。

つまり底面の半径と、おうぎ形の中心角の間には、

側面のおうぎ形底面
360°母線と同じ半径
180°(360°の半分)母線の半分の半径
90°(360°の4分の1)母線の4分の1の半径
半径0

このような関係があることがわかります。

これがわかれば、中心角の大きさは、側面と底面の半径の比と同じになることが実感として理解できます

あとは式からでも押せますね。

中心角の角度は360°に対して「半径/母線」の割合になります。

よって側面を求める式は、

母線×母線×半径/母線×3.14

母線が約分で消えるため、母線×半径×3.14となります。

確かに公式は早い

確かに公式を知っていると早いのですが、公式は万能ではありません。

特に今まで見たことがない問題に直面した時は、どう公式を使うべきかわからなくなります。

そのため公式がなくても解けるようにしておき、その上で公式を使う

こうすることで、側面だけでなく他の解き方や難易度の高い応用問題にも対応できる力がついていくのです。

公式の丸暗記に限界を感じているなら、迷わずファイへご連絡下さい。

それとも進学後も今のまま押し通しますか?

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学習法診断士。東京、千葉、埼玉を中心に独自の教育論、常識外れの教育手法を用いて大手進学塾や個別指導塾、家庭教師といった教育機関で多数のミラクルと言われるような合格を打ち出す。2013年に株式会社学習法指導塾PHIを設立し、子供たちへ勉強のやり方の指導を始め、親への接し方の指導、セミナー活動、高校や大学での指導、塾や学校の先生などの教育者に対する指導、動物介在教育など多岐にわたって教育業に携わる。

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