なぜ母線×半径×3.14なのか。公式を知っていても円錐を作れない

覚える公式の危うさ

大手の塾では「覚えろ」と言われるこの公式。

円錐の側面積の求め方ですね。

確かにこの公式を覚えておけば側面積を即答できるため、圧倒的に有利なのですが、それは覚えていられる間の話。

もし忘れたり混乱したりすると、求められなくなってしまうのです。

そこで押さえておきたいのが、展開図のおうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さが等しいということ。

「そんなの知ってるよ」

そういう子どもも多いのですが、知っているだけで理解できていない子が多いのです。

今回は円錐の展開図を初めて扱った塾生の指導の様子をちょっと紹介。

とりあえず作ってみる

受験となるとついつい効率を求めがちですが、円錐は一度ぐらい作ってみた方がいいでしょう。

今回教えた子は円錐自体が初めてなので、教えながら一緒にやりましたが、既に習って知っている子でも、同じ長さとわかっていても作れない子が多いのです。

なぜなら、どうやったら同じ長さにできるのかわからないから。

机上でしか学んできていない子は、ビックリするぐらい作れません。

子どもと一緒に試してみて下さい。

あなたならどうやって同じ長さにしますか？

ノート準備中

上の写真は失敗作の展開図。

これをくっつけても円錐になりません。

この失敗をすることで、おうぎ形の中心角と底面の円周とに関係があることに気付きます。

さてここからが問題。

どうやって同じ長さにするか。

どうやって同じ長さにする？

同じ長さにすることがわかったら、どうやったら同じ長さになるかを考えることになります。

いくつは方法はありますね。

• 中心角の角度を測っておうぎ形を作る。
• 母線と半径の比を作りやすいおうぎ形の比に合わせる。
• おうぎ形を作ってからその大きさに底面を作る。

どれも正解です。

どう作ってもいいのですが、母線と半径の比について気付かせるのならば、おうぎ形を底面に合わせたいところ。

ということで、まずは底面の円をつくります。

次に側面にあたるおうぎ形を作るのですが、ここではおうぎ形にせずに底面の円より大きな円を作ります。

そして円の半径を一本切って、切れ込みが入った状態にします。

後はその切れ込み部分をずらして重ねていくと，側面部分ができます。

重ねる部分を増やすと底面が小さく、重ねる部分を減らすと底面が大きくなります。

これで底面に合わせてあげれば、円周が合う円錐をつくることができます。

こうすることで、おうぎ形の角度と底面の半径との間に関係があることが、感覚的に実感できます。

なぜ母線×半径×3.14？

側面積の切れ込みを入れただけの最初の状態を考えると、中心角３６０°のおうぎ形と考えることができます。

これを側面とする円錐を強引に考えると、高さは０で、底面の円は同じ大きさの円錐になると考えられます。

このおうぎ形を重ねていって、３６０°重ねると底面は０になります。

もちろん理論上の話であり、実際には不可能ですが、規則性からイメージはできるはずです。

つまり底面の半径と、おうぎ形の中心角の間には、

このような関係があることがわかります。

これがわかれば、中心角の大きさは、側面と底面の半径の比と同じになることが実感として理解できます。

あとは式からでも押せますね。

中心角の角度は360°に対して「半径／母線」の割合になります。

よって側面を求める式は、

母線×母線×半径／母線×3.14

母線が約分で消えるため、母線×半径×3.14となります。

確かに公式は早い

確かに公式を知っていると早いのですが、公式は万能ではありません。

特に今まで見たことがない問題に直面した時は、どう公式を使うべきかわからなくなります。

そのため公式がなくても解けるようにしておき、その上で公式を使う。

こうすることで、側面だけでなく他の解き方や難易度の高い応用問題にも対応できる力がついていくのです。

公式の丸暗記に限界を感じているなら、迷わずファイへご連絡下さい。

それとも進学後も今のまま押し通しますか？